I. Sự tiến hóa logic từ một chiều đến hai chiều
Điểm trên trục số chỉ cần một số thực để xác định vị trí, còn điểm trong mặt phẳng tồn tại ở hai chiều vuông góc với nhau. Sau khi thiết lập hệ tọa độ vuông góc, với bất kỳ điểm $M$ nào trong mặt phẳng tọa độ, luôn tồn tại duy nhất một cặp số thực có thứ tự $(x, y)$ tương ứng với nó; ngược lại, với bất kỳ cặp số thực có thứ tự $(x, y)$ nào, trong mặt phẳng tọa độ cũng luôn tồn tại duy nhất một điểm $M$ tương ứng. Mối quan hệ nàymối quan hệ một-mộtlà nền tảng của tư tưởng kết hợp giữa số và hình.
cặp số có thứ tựlà cặp số gồm hai số $a$ và $b$ theo thứ tự, gọi là cặp số có thứ tự, ký hiệu là $(a, b)$.
"Có thứ tự" có nghĩa là $(x, y) \neq (y, x)$ (trừ khi $x = y$). Thứ tự quyết định thuộc tính hướng đi mà các số đại diện (biên dịch theo phương ngang hay phương dọc).
II. Phép ánh xạ hai chiều một-một
Phép ánh xạ này đảm bảo rằng "số" có thể mô tả chính xác vị trí của "hình", và "hình" có thể phản ánh trực quan đặc trưng của "số", giúp các hình học trong mặt phẳng có thể được xử lý bằng đại số. Chúng ta tổng kết mối quan hệ này như sau:
- Giải hình bằng sốtính diện tích, chu vi của hình hoặc xác định mối quan hệ vị trí bằng tọa độ.
- Hỗ trợ số bằng hìnhhiểu trực quan tính chất hàm số hoặc nghiệm của phương trình thông qua quan sát đồ thị.